题文
已知函数
(
）是奇函数，
有最大值
且
.
（1）求函数
的解析式；
（2）是否存在直线
与
的图象交于P、Q两点，并且使得
、
两点关于点
对称，若存在，求出直线
的方程，若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）过P、Q的直线l的方程：x－4y－1=0
解析
(1)由于f(x)为奇函数，可知f(-x)+f(x)=0恒成立，据此可求出c=0.∴f(x)=
.由a＞0，
,所以当x>0时，才可能取得最大值，所以x＞0时，
当且仅当
,即
时，f(x)有最大值
,
从而得到a=b2 ,再结合f(1)＞
，∴
＞
,
∴5b＞2a+2,
,可求出a,b的值.
(2)本小题属于存在性问题，先假设存在，设P(x0,y0),根据P、Q关于点（1，0）对称,可求出点P的坐标，从而确定Q的坐标，所以PQ的方程易求.
解：（1）∵f(x)是奇函数，
∴f(–x)=－f(x)，即
，
∴－bx+c=－bx–c，
∴c=0，------------2分
∴f(x)=
.由a＞0，
， 当x≤0时，f(x)≤0，
当x＞0时，f(x)＞0，∴f(x)的最大值在x＞0时取得.
∴x＞0时，
当且仅当
即
时，f(x)有最大值
∴
=1,∴a=b2 ①
又f(1)＞
，∴
＞
,∴5b＞2a+2 ②
把①代入②得2b2–5b+2＜0解得
＜b＜2，又b∈N,∴b="1,a=1," ----------4分
∴f(x)=
------------7分
（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，
P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴
,消去y0，得x02–2x0–1=0---9分
解之，得x0=1±
,∴P点坐标为(
)或(
)，
进而相应Q点坐标为Q（
）或Q(
)， -------11分
过P、Q的直线l的方程：x－4y－1=0即为所求. -----------15分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数(）是奇函数，有最大值且.（1）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
