题文
定义：若函数
在某一区间D上任取两个实数
、
，且
，都有
，则称函数
在区间D上具有性质L。
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）。
（2）对于函数
，判断其在区间
上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论。
（3）若函数
在区间（0，1）上具有性质L，求实数
的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）有，证明见解析（3）
解析
本题以函数为载体，考查新定义，考查恒成立问题，解题的关键是对新定义的理解，恒成立问题采用分离参数法．（1）写出的函数是下凹的函数即可；
（2）函数
在区间
上具有性质L，运用定义法加以证明即可。
（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2则
＞0，只需要
在x1、x2∈（0，1）上恒成立，故可求实数a的取值范围．
解：（1）
（或其它底在（0，1）上的对数函数）。…………2分
（2）函数
在区间
上具有性质L。…………3分
证明：任取
、
，且
则
、
且
，
，
即
>0，
所以函数
在区间
上具有性质L。……………7分
（3）任取
、
，且
则
、
且
，
，
要使上式大于零，必须
在
、
上恒成立，
即
，
，即实数
的取值范围为
……………12分
考点
据考高分专家说，试题“定义：若函数在某一区间D上任取两个实数、.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
