(满分14分）设函数.(1)求的单调区间;(2)若当时,(其中不等式恒成立,求实数m的取值范围;(3)试讨论关于x的方程:在区间[0,2]上的根的个数.

题文

(满分14分）设函数

.
(1)求

的单调区间;
(2)若当

时,(其中

不等式

恒成立,求实数m的取值范围;
(3)试讨论关于x的方程:

在区间[0,2]上的根的个数. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)增区间为

,减区间为

.
(2)

时,不等式

恒成立.
(3)

时,方程无解;


或

时,方程有唯一解;


时,方程有两个不等的解.

解析

(1)直接利用导数大（小）于零，求其单调增（减）区间即可.
(2)利用导数求f(x)的最大值，则

.
(3)

即


然后令

,再利用导数确定g(x)的单调区间和极值，画出草图，观察直线y=a在什么范围变化时，它与y=g(x)有不同的交点.
(1)函数的定义域为



.      ……… 1分
由

得

;  ……… 2分                    
由

得

,       ………3分
则增区间为

,减区间为

.      ………4分
(2)令

得

,
由(1)知

在

上递减,在

上递增,  ………6分
由



,且

,     ……… 8分


时,

 的最大值为

,
故

时,不等式

恒成立.  ………9分
(3)方程

即

.记

,则


.由

得

;由

得

.
所以

在

上递减;在

上递增.
而

,

   ………10分
所以,当

时,方程无解;
当

时，方程有一个解;
当

时,方程有两个解;
当

时,方程有一个解;
当

时,方程无解.               ………13分
综上所述,

时,方程无解;


或

时,方程有唯一解;


时,方程有两个不等的解.     ………14分

考点

据考高分专家说，试题“ (满分14分）设函数.(1)求的单调区.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。