题文
函数f(x) 的定义域为R，且对任意x,y∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)，又当x>0 时，f(x)＜0,且f(1)=－2.
（Ⅰ）求证：f(x) 既是奇函数又是R上的减函数；
（Ⅱ）求f(x)在[－3,3]的最大值和最小值. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）见解析（Ⅱ）f(x)在[-3,3]的最大值是6，最小值是-6解析
本试题主要是考查了函数的奇偶性和单调性的运用。（1）证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)
即f(x)+f(-x)=f(0)，故∴f(x)+f(-x)=0即f(-x)=-f(x)即f(x) 是奇函数，并运用定义法证明单调性。
（2）∵f(x)在R上单调递减，
∴在[-3,3]的最大值为f（-3），最小值为f(3)从而得到。
解：（1）证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)
即f(x)+f(-x)="f(0)" ………………………(2分)
∴f(0)+f(0)=f(0)即f(0)=0
∴f(x)+f(-x)=0即f(-x)=-f(x)即f(x) 是奇函数………………………(4分)
又任取
且
∵则
…………………（6分）
∵
∴
∴
，f(x)是R上的减函数………………………(8分)
（1）解答：∵f(x)在R上单调递减，
∴在[-3,3]的最大值为f（-3），最小值为f(3) ………………(9分)
由f(1)=-2得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6
又f(-3)=-f(3)=6……………(11分)
∴f(x)在[-3,3]的最大值是6，最小值是-6……………………(12分)
考点
据考高分专家说，试题“函数f(x) 的定义域为R，且对任意x,.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
