题文
已知函数
，且
，函数
的图象经过点
，且
与
的图象关于直线
对称，将函数
的图象向左平移2个单位后得到函数
的图象．
（Ⅰ）求函数
的解析式；
（Ⅱ）若
在区间
上的值不小于8，求实数
的取值范围．
（III）若函数
满足：对任意的
（其中
），有
，称函数
在
的图象是“下凸的”．判断此题中的函数
图象在
是否是“下凸的”？如果是，给出证明；如果不是，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
．（Ⅰ）
（Ⅱ）a≥12（III）是
解析
本试题主要考查了函数的解析式和函数的单调性和函数的下凸形的运用。（1）由题意得h(x)的图象经过(3，4)，
代入得
，解得m="7." ∴
分
∴
．
（2）∵
，
∴ 由已知有
≥8有a≥-x2+8x-3， 令t(x)=-x2+8x-3，则t(x)=-(x-4)2+13，于是t(x)在(0，3)上是增函数．∴ t(x)max=12．∴ a≥12
（3）
的图象在
是“下凸的”，根据新定义证明，
解：（Ⅰ）由题意得h(x)的图象经过(3，4)，
代入得
，解得m=7. 1分
∴
2分
∴
． 4分
（Ⅱ）∵
，
∴ 由已知有
≥8有a≥-x2+8x-3， 6分
令t(x)=-x2+8x-3，则t(x)=-(x-4)2+13，于是t(x)在(0，3)上是增函数．
∴ t(x)max=12．
∴ a≥12． 8分
（III）
的图象在
是“下凸的”． 9分
的图象在
是“下凸的”． 12分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，且，函数的图象经过点，且与的图.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
