已知函数，其中且．(1) 判断的奇偶性；(2) 判断在上的单调性，并加以证明．

题文

已知函数

，其中

且

．
(1) 判断

的奇偶性；
(2) 判断

在

上的单调性，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

是奇函数(2)见解析

解析

(1)根据奇偶性的定义先判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断

与

是相等或互为相反数，或都不可能，再确定是否具有奇偶性．
（２）利用单调性的定义证明．第一步先在Ｒ上取两个不同的值

,再看

是大于零或小于零，再确定是增函数还是减函数．
解：(1)由于

的定义域为

．       ………1分


， ……………3分
所以

是奇函数．      ………………5分
(2) 设

，则


．………7分
当

时，

,得

，即

,
这时

在

上是增函数；     ………………10分
当

时，

,得

，即

,
这时

在

上是减函数．     ……………12分

考点

据考高分专家说，试题“已知函数，其中且．(1) 判断的奇偶性；.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。