题文
对于函数
(1)判断函数的单调性并证明； (2)是否存在实数a使函数f (x)为奇函数？并说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)见解析 (2) 故
时函数f (x)为奇函数
解析
(1)利用单调性的定义证明：先从定义域Ｒ内任取两个不同的值x1 , x2，设设x1 < x2 ,然后再确定 f (x1) – f (x2)的符号，若是正值，是增函数，若是负值是减函数．因为含有参数b,可能要对b进行讨论．解：(1)函数f (x)的定义域是R ……2分
证明：设x1 < x2；
f (x1) – f (x2) = a-
-( a-
)=
当
x1
得
< 0
得f (x1) – f (x2) < 0所以f (x1) < f (x2)
故此时函数f (x)在R上是单调增函数； ……6分
当
x1
得
0
得f (x1) – f (x2)
0所以f (x1)
f (x2)
故此时函数f (x)在R上是单调减函数 ……10分
注：用求导法也可证明.
(2) f (x)的定义域是R，
由
，求得
. …11分
当
时，
，
，
满足条件
，故
时函数f (x)为奇函数 …14分
考点
据考高分专家说，试题“对于函数(1)判断函数的单调性并证明； .....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
