题文
(本小题满分13分)(1)证明：函数
在
上是减函数，在[
，+∞)上是增函数；
题型：未知 难度：其他题型
答案
解： （1）证明：见解析；（2）当
时，方程无解；当
方程有一个解；当
时，方程有两个解.
解析
本试题主要是考查了二次函数的单调性以及函数与方程的综合运用。（1）根据但单调性的定义法，设变量，作差，变形定号，下结论。
（2）在第一问的基础上，结合单调性，得到函数的最值，然后分析得到参数的范围。
解： （1）证明：设
，且
则
=
=
=
=
．………4分
（ⅰ）若
，
且
，
，所以
，
即
．所以函数
在区间[
，+∞)上单调递增．………6分
（ⅱ）若
，则
且
，
，
所以
，即
．所以函数
在区间[
，+∞)上单调递减．………………………………8分
（2）由（1）知函数
在区间（1，
)上单调递减，在区间[
，2]上单调递增
所以
的最小值=
，
的最大值=
……………………10分
故当
时，方程无解；当
方程有一个解；当
时，方程有两个解.………………………………………13分
考点
据考高分专家说，试题“ (本小题满分13分)(1)证明：函数在.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
