题文
（本小题满分12分）设函数
的定义域为R，当
时，
，且对任意
，都有
，且
。
（1）求
的值；
（2）证明：
在R上为单调递增函数；
（3）若有不等式
成立，求
的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
，
；（2）
的取值范围是
。
解析
本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用，函数单调性的定义及其证明，利用函数性质和函数的单调性解不等式的方法，转化化归的思想方法。（1）利用赋值法，令x=2，y=0即可求得f（0）的值，令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）先证明0＜f（x）＜1，再利用函数单调性的定义，设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，利用抽象表达式和已知函数性质证明f（x1）＜f（x2），即可得证；
（3）利用抽象表达式，先将不等式化为f(x+1+
)＜f(1)，再利用函数的单调性将不等式转化为分式不等式即可得解集。
解（1）因为
，所以
，所以
，又因为
，且当
时，
，所以
（2）当
时，
，所以
，而
，所以
，所以
，对任意的
，当
时，有
，因为
，所以
，所以
，即
，所以
，即
，所以
在R上是单调递增函数（3）因为
，所以
，而
在R上是单调递增函数，所以
，即：
，所以
，所以
，所以
的取值范围是
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）设函数的定义域为R，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
