题文
（本小题满分12分）已知函数
．
(1)判断其奇偶性;
(2)指出该函数在区间
上的单调性并证明;
(3)利用(1)和(2)的结论,指出该函数在
上的增减性.（不用证明） 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
是奇函数；（2）
在
上是增函数。（3）由于
是
上的奇函数，在
上又是增函数，因而该函数在
上也是增函数。
解析
本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，其中掌握函数奇偶性与单调性的定义及判定方法是解答本题的关键．（1）由已知易判断出函数的定义域为R，关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，即可根据函数奇偶性的定义，进行判断得到结论；
（2）任取x1、x2满足0＜x1＜x2＜1，并做出f（x1）-f（x2）的差，利用实数的性质，判断出f（x1）与f（x2）的大小，根据函数单调性的定义，即可得到答案；
（3）由（1）可得函数为奇函数，由（2）可得函数在（0，1）上为增函数，根据奇函数在对称区间上单调性相同，即可得到答案．
解：（1）函数的定义域为
…………. 2分
是奇函数…………. 4分
（2）函数
在
上是增函数
证明：设
，则
…………. 8分
，
因此函数
在
上是增函数………. 10分
（3）由于
是
上的奇函数，在
上又是增函数，因而该函数在
上
也是增函数………. 12分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知函数．(1)判断.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
