题文
（本小题满分16分）已知函数
是偶函数.
（1）求
的值；
（2）设函数
，其中
若函数
与
的图象有且只有一个交点，求
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
。
解析
本试题主要是考查了函数的奇偶性和函数与方程的综合运用。（1）∵
是偶函数，∴
对任意
，恒成立即：
恒成立，∴
（2）由于
，所以
定义域为
，
也就是满足
∵函数
与
的图象有且只有一个交点，
∴方程
在
上只有一解
即：方程
在
上只有一解，结合指数函数构造二次函数求解得到。
解：（1）∵
是偶函数，
∴
对任意
，恒成立 2分
即：
恒成立，∴
5分
（2）由于
，所以
定义域为
，
也就是满足
7分
∵函数
与
的图象有且只有一个交点，
∴方程
在
上只有一解
即：方程
在
上只有一解 9分
令
则
，因而等价于关于
的方程
（*）在
上只有一解 10分
① 当
时，解得
，不合题意； 11分
② 当
时，记
，其图象的对称轴
∴函数
在
上递减，而
∴方程（*）在
无解 13分
③ 当
时，记
，其图象的对称轴
所以，只需
，即
，此恒成立
∴此时
的范围为
15分
综上所述，所求
的取值范围为
16分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分16分）已知函数是偶函数.（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
