题文
（16分）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
．
（1）当
时，求函数
的解析式；
（2）若函数
为单调递减函数；
①直接写出
的范围（不必证明）；
②若对任意实数
，
恒成立，求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
。
解析
本试题主要是考查了抽象函数的解析式的求解和单调性的证明以及解不等式。（1）因为当
时，
，又因为
为奇函数，所以
，进而得到解析式。
（2）根据函数单调性，对于参数a分为正负来讨论得到取值范围。
（3）因为
，∴
所以
是奇函数，∴
，而又因为
为
上的单调递减函数，所以
恒成立，分离参数的思想得到范围。
（1）当
时，
，又因为
为奇函数，
所以
所以
…………………………6分
（2）①当
时，对称轴
，所以
在
上单调递减，
由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以
在
上单调递减，
又在
上
，在
上
，
所以当a
0时，
为R上的单调递减函数
当a>0时，
在
上递增，在
上递减，不合题意
所以函数
为单调函数时，a的范围为a
………………………………………….10分
②因为
，∴
所以
是奇函数，∴
…………………………12分
又因为
为
上的单调递减函数，所以
恒成立，…………………14分
所以
恒成立， 所以
…………………………16分
考点
据考高分专家说，试题“（16分）已知函数是定义在上的奇函数，且.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
