题文
（10分）已知函数
，且
（1）判断
的奇偶性，并证明；
（2）判断
在
上的单调性，并用定义证明；
（3）若
，求
的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
为奇函数， 证：见解析；
（2）
在
上的单调递增，证明：见解析。（3）
.
解析
本题考查函数的性质，考查学生的计算能力，证明函数的单调性按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行．（1）函数为奇函数．确定函数的定义域，利用奇函数的定义，即可得到结论；
（2）按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行证明，作差后要因式分解．
（3）根据函数单调性，得到不等式的解集。
解 ∵
，且
∴
，解得
(1)
为奇函数，
证：∵
，定义域为
，关于原点对称…
又
所以
为奇函数
（2）
在
上的单调递增
证明：设
，
则
∵
∴
，
故
，即
，
在
上的单调递增
又
，即
，所以可知
又由
的对称性可知
时，
同样成立 ∴
考点
据考高分专家说，试题“（10分）已知函数，且（1）判断的奇偶性.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
