题文
（本小题满分12分）设
，且
,定义在区间
内的函数
是奇函数.
（1）求
的取值范围；
（2）讨论函数
的单调性并证明. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
. （2）
在（-b,b)内是减函数，具有单调性.
解析
（1）由函数f（x）在区间（-b，b）是奇函数，知f（-x）=-f（x），x∈（-b，b）上恒成立，用待定系数法求得a；同时函数要有意义，即
＞0，x∈（-b，b）上恒成立，可解得结果．
（2）选用定义法求解，先任意取两个变量且界定大小，再作差变形看符号．
解 （1）
是奇函数等价于：
对任意
都有
…………………2分
（1）式即为
，由此可得
,也即
,…………………4分
此式对任意
都成立相当于
,因为
,所以
，
代入②式，得
＞0,即
,此式对任意
都成立相当于
,…………………6分
所以
的取值范围是
.…………………7分
（2）设任意的
，且
,由
，得
,
所以
…………………9分
从而
因此
在（-b,b)内是减函数，具有单调性. …………………12分
点评：解决该试题的关键是要注意定义域优先考虑原则，以及作差时的变形要到位，要用上两个变量的大小关系。
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）设，且,定义在区间内.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
