题文
（本小题满分12分）已知函数
定义域为
，若对于任意的
，都有
，且
时，有
.
（1）求证:
为奇函数;
（2）求证:
在
上为单调递增函数;
（3）设
,若
<
,对所有
恒成立,求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）见解析（2）见解析（3）
解析
（1）因为有
，
令
，得
，所以
， ……1分
令
可得：
所以
，所以
为奇函数. ……4分
（2）
是定义在
上的奇函数,由题意
则
，
是在
上为单调递增函数; ……8分
（3）因为
在
上为单调递增函数，
所以
在
上的最大值为
， ……9分
所以要使
<
,对所有
恒成立，
只要
>1,即
>0， ……10分
令
. ……12分
点评：解决抽象函数问题常用的方法是“赋值法”，而要考查抽象函数的性质，还要借助图象,数形结合来解决.对于恒成立问题，要转为为求最值来解决，而（３）中将函数转化为关于
的函数，是这道题解题的亮点所在．
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知函数定义域为，若.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
