题文
（本题13分）已知函数
。
（Ⅰ）若
，试判断并证明
的单调性；
（Ⅱ）若函数
在
上单调，且存在
使
成立，求
的取值范围；
（Ⅲ）当
时，求函数
的最大值的表达式
。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）用定义证明函数的单调性；（Ⅱ）
；（Ⅲ）
。
解析
（Ⅰ）当
时，
在
上单调递增 1分
证明：
1分
则
2分
，
在
上单调递增。
（Ⅱ）当
时，
由于
则
则当
时，
，
单调增；
当
时，
，
单调减。
所以，当
时，
在
上单调增； 2分
又存在
使
成立
所以
。 2分
综上，
的取值范围为
。
（Ⅲ）当
时，
由（Ⅰ）知
在区间
上单调递增， 1分
由（Ⅱ）知，①当
时，
在
上单调增，
②当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
又因为
在
上是连续函数
所以，①当
时，
在
上单调增，则
；
②当
时，
在
上单调增，在
上单调减，在
上单调增，
2分
则
综上，
的最大值的表达式
。 2分
点评：解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路1：
在
上恒成立
；思路2:
在
上恒成立
。注意恒成立问题与存在性问题的区别。
考点
据考高分专家说，试题“（本题13分）已知函数。（Ⅰ）若，试判断.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
