题文
（本题满分13分）已知函数
(1) 求函数
的极值；
(2)求证：当
时，
(3)如果
，且
，求证：
题型：未知 难度：其他题型
答案
(1) 当
时，
取得极大值
=
；
(2)
，则只需证当
时，
＞0；
(3) 由⑵的结论知
时，
＞0，∴
．
∵
，∴
．
又
，∴
。
解析
⑴∵
=
，∴
=
． 2分
令
=0，解得
．
1
＋
0
－
↗
极大值
↘
∴当
时，
取得极大值
=
． 4分
⑵证明：
,则
=
． 6分
当
时，
＜0，
＞2，从而
＜0，
∴
＞0，
在
是增函数．
8分
⑶证明：∵
在
内是增函数，在
内是减函数．
∴当
，且
时，
、
不可能在同一单调区间内．
∴
， 11分
由⑵的结论知
时，
＞0，∴
．
∵
，∴
．
又
，∴
13分
点评：此题是个难题．主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力．做第三问的关键是：看出函数
的关系，即
。
考点
据考高分专家说，试题“（本题满分13分）已知函数(1) 求函数.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
