题文
已知函数
，
．
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若对任意正实数x，不等式
恒成立，求实数k的值；
（Ⅲ）求证：
．（其中
） 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）单调递减区间为
，单调递增区间为
（Ⅱ）
（Ⅲ）利用放缩不等式可以证明，或用数学归纳法证明
解析
(Ⅰ)易知函数的定义域为
，
；
(Ⅱ)解法一：
综上：
；
解法二：
由题意
，
，
(Ⅲ)证法一：
，并累加得：
证法二：数学归纳法（略）
点评：用导数研究函数的单调性、极值、最值等性质时，不要忘记先求函数的定义域，用放缩法证明不等式时，要注意放缩的力度要恰当，如果用数学归纳法证明，需要严格按步骤进行.
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
