题文
已知
是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意
，
① 方程
有实数根；② 函数
的导数
满足
．
（Ⅰ）判断函数
是否是集合
中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）集合
中的元素
具有下面的性质：若
的定义域为
，则对于任意
，都存在
，使得等式
成立．试用这一性质证明：方程
有且只有一个实数根；
（Ⅲ）对任意
，且
，求证：对于
定义域中任意的
，
，
，当
，且
时，
题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）函数是集合
中的元素.
（Ⅱ）方程
有且只有一个实数根.
（Ⅲ）对于任意符合条件的
,
总有
成立.
解析
（Ⅰ）因为①当
时，
，
所以方程
有实数根0；
②
，
所以
，满足条件
；
由①②，函数
是集合
中的元素. 5分
（Ⅱ）假设方程
存在两个实数根
，
，
则
，
.
不妨设
，根据题意存在
，
满足
.
因为
，
，且
，所以
.
与已知
矛盾.又
有实数根，
所以方程
有且只有一个实数根. 10分
（Ⅲ）当
时，结论显然成立； 11分
当
，不妨设
.
因为
,且
所以
为增函数，那么
.
又因为
，所以函数
为减函数，
所以
.
所以
，即
.
因为
，所以
， （1）
又因为
，所以
， （2）
（1）
（2）得
即
.
所以
.
综上，对于任意符合条件的
,
总有
成立. 14分
点评：综合题，本题综合性较强，难度较大。证明方程只有一个实根，可通过构造函数，研究其单调性实现，本解法运用的是反证法。由自变量取值
，且
，确定函数值的关系
，关键是如何实现两者的有机转换。
考点
据考高分专家说，试题“已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
