已知函数，其图象在点处的切线方程为(1)求的值；(2)求函数的单调区间，并求出在区间[－2,4]上的最大值．

题文

已知函数

，其图象在点

 处的切线方程为


(1)求

的值；
(2)求函数

的单调区间，并求出

在区间[－2,4]上的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) a＝1，b＝

. (2)8.

解析

(1)f′(x)＝x²－2ax＋a²－1，       2分
∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2，  3分
∵(1,2)在y＝f(x)的图象上，∴2＝

－a＋a²－1＋b，
又f′(1)＝－1，∴a²－2a＋1＝0，
解得a＝1，b＝

.              6分
(2)∵f(x)＝

x³－x²＋

，∴f′(x)＝x²－2x，
由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的极值点，所以有
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值



极小值



                              8分
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)．    10分
∵f(0)＝

，f(2)＝

，f(－2)＝－4，f(4)＝8，
∴在区间[－2,4]上的最大值为8.               13分
点评：我们要灵活应用导数的几何意义求曲线的切线方程，尤其要注意切点这个特殊点，充分利用切点即在曲线方程上，又在切线方程上，切点处的导数等于切线的斜率这些条件列出方程组求解。属于基础题。

考点

据考高分专家说，试题“已知函数，其图象在点处的切线方程为(1).....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。