题文
定义在
上的函数
满足：对任意
，
恒成立．有下列结论：①
；②函数
为
上的奇函数；③函数
是定义域内的增函数；④若
，且
，则数列
为等比数列．
其中你认为正确的所有结论的序号是 ． 题型：未知 难度：其他题型
答案
①②④解析
因为已知中，函数满足对任意
，
恒成立
那么可知f(0)-f(0)=f(0),故有f(0)=0,故命题1正确。
命题2中，令0=x,y=x则f(0)-f(x)=f(-x),f(-x)+f(x)=0,可知为奇函数。
故正确。
命题3中，令x=1,y=
.那么可知得到f(
)=0,显然不符合单调函数定义，错误。
命题4总，由于
，且
，则数列
为等比数列,故成立。正确的序号为①②④
点评：解决该试题的关键是利用抽象函数的表达式，进行合理的赋值，然后结合函数的奇偶性的性质很单调性的性质来求解分析得到结论。体现了抽象函数的赋值思想的运用，属于中档题。
考点
据考高分专家说，试题“定义在上的函数满足：对任意，恒成立．有下.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
