题文
．(本小题满分12分）已知函数
，
是常数）在x=e处的切线方程为
，
既是函数
的零点，又是它的极值点．
(1)求常数a,b,c的值；
(2)若函数
在区间(1，3)内不是单调函数，求实数m的取值范围；
(3)求函数
的单调递减区间，并证明：
题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
，
，
(2)
(3)
, 证明：当
时,
即
对一切
都成立，亦即
对一切
都成立， 所以
，
，
，…
， 所以有
，
所以
.
解析
（1）由
知，
的定义域为
,
,
又
在
处的切线方程为
，所以有
,①
由
是函数
的零点，得
,②
由
是函数
的极值点，得
，③
由①②③，得
，
，
.
（2）由(1)知
，
因此，
，所以
.
要使函数
在
内不是单调函数，则函数
在
内一定有极值，而
，所以函数
最多有两个极值.
令
.
（ⅰ）当函数
在
内有一个极值时，
在
内有且仅有一个根，即
在
内有且仅有一个根，又因为
，当
，即
时，
在
内有且仅有一个根
，当
时，应有
，即
，解得
，所 以有
.
（ⅱ）当函数
在
内有两个极值时，
在
内有两个根，即二次函
数
在
内有两个不等根，所以
解得
.
综上，实数
的取值范围是
.
（3）由
，得
，
令
，得
，即
的单调递减区间为
.
由函数
在
上单调递减可知，
当
时,
，即
，
亦即
对一切
都成立，
亦即
对一切
都成立，
所以
，
，
，
…
，
所以有
，
所以
.
点评：本题第一问题型基础简单，第二问需要分情况讨论，对学生有一定的难度，第三问需要借助于单调性求出最值进而转化为恒成立的不等式，难度大
考点
据考高分专家说，试题“．(本小题满分12分）已知函数，是常数）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
