题文
已知函数
.
（Ⅰ）当
时，讨论
的单调性；
（Ⅱ）设
时，若对任意
，存在
，使
，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）当
时，函数
在（０，１）上单调递减；
函数
在（１，＋∞）上单调递增；
当
时，函数
在（0，+∞）上单调递减；
当
时，函数
在（0，1）上单调递减；
函数
在
上单调递增；
函数
上单调递减，
（Ⅱ）
解析
（Ⅰ）因为
所以
令
（1）当
所以，当
，函数
单调递减；
当
时，
，此时
单调递
（2）当
即
，解得
①当
时，
恒成立，
此时
，函数
在（0，+∞）上单调递减；
②当
时，
单调递减；
时，
单调递增；
，此时
，函数
单调递减；
③当
时，由于
时，
，此时
，函数
单调递减；
时，
，此时
，函数
单调递增。
综上所述：
当
时，函数
在（０，１）上单调递减；
函数
在（１，＋∞）上单调递增；
当
时，函数
在（0，+∞）上单调递减；
当
时，函数
在（0，1）上单调递减；
函数
在
上单调递增；
函数
上单调递减，
（Ⅱ）因为
，由（Ⅰ）知，
，当
，
函数
单调递减；当
时，
函数
单调递增，所以
在（0，2）上的最小值为
由于“对任意
，存在
，使
”等价于
“
在[1，2]上的最小值不大于
在（0，2）上的最小值
” （*）
又
，所以
①当
时，因为
，此时与（*）矛盾；
②当
时，因为
，同样与（*）矛盾；
③当
时，因为
解不等式
，可得
综上，
的取值范围是
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，恒成立问题，往往通过“分离参数”，转化成求函数的最值。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。
考点
据考高分专家说，试题“已知函数.（Ⅰ）当时，讨论的单调性；（Ⅱ.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
