题文
（本小题满分12分）已知函数
（1）若
是定义域上的单调函数，求
的取值范围；
（2）若
在定义域上有两个极值点
、
，证明：
题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）[
，＋∞)（2）
解析
（1）因为
所以
．
法一：若
在(0，＋∞)单调递增，则
在(0，＋∞)上恒成立，
，
由于
开口向上，所以上式不恒成立，矛盾。
若
在(0，＋∞)单调递减，则
在(0，＋∞)上恒成立，
由于
开口向上，对称轴为
，
故只须
解得
。
综上，
的取值范围是[
，＋∞)．
法二：令
．当
时，
，
在 (0，＋∞)单调递减．
当
时，
，方程
有两个不相等的正根
，
不妨设
，
则当
时，
，
当
时，
，这时
不是单调函数．
综上，
的取值范围是[
，＋∞)．
（2）由（1）知，当且仅当
∈(0，
)时，
有极小值点
和极大值点
，
且
＝
，
＝
．
令
，
则当
时，
＝
－
＝
＜0，
在(0，
)单调递减，
所以
即
．
点评：导数是研究函数的单调性、极值、最值的有力工具，研究函数的性质时要注意函数的定义域.
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知函数（1）若是定.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
