题文
已知函数
有三个极值点。
（I）证明：
；
（II）若存在实数c，使函数
在区间
上单调递减，求
的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)利用导数的符号判定函数单调性，以及桉树的极值，进而证明。(2) 当
时，
所以
且
即
故
或
反之, 当
或
时，
总可找到
使函数
在区间
上单调递减.
解析
解：（I）因为函数
有三个极值点,
所以
有三个互异的实根.
设
则
当
时，
在
上为增函数;
当
时，
在
上为减函数;
当
时，
在
上为增函数;
所以函数
在
时取极大值,在
时取极小值. （3分）
当
或
时,
最多只有两个不同实根.
因为
有三个不同实根, 所以
且
.
即
,且
,
解得
且
故
. （5分）
（II）由（I）的证明可知，当
时,
有三个极值点.
不妨设为
（
），则
所以
的单调递减区间是
,
若
在区间
上单调递减，
则
, 或
,
若
,则
.由（I）知，
,于是
若
,则
且
.由（I）知，
又
当
时，
;
因此, 当
时，
所以
且
即
故
或
反之, 当
或
时，
总可找到
使函数
在区间
上单调递减. （10分）
点评：解决的关键是利用导数的符号判定函数的单调性，以及函数的极值，属于基础题。
考点
据考高分专家说，试题“已知函数有三个极值点。（I）证明：；（I.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
