题文
已知函数
，
（其中
实数,
是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当
时，求函数
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）求
在区间
上的最小值；
(Ⅲ) 若存在
，使方程
成立，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
(2)
时，在区间
上，
，
为增函数，所以
当
时,
(3)
解析
解：（Ⅰ）当
时
，
┈┈1分
故切线的斜率为
， ┈┈┈┈ 2分
所以切线方程为：
，即
. ┈┈┈┈ 3分
（Ⅱ）
，
令
，得
4分
①
时，在区间
上，
，
为增函数，
所以
5分
②当
时，在区间
上
，
为减函数， 6分
在区间
上
，
为增函数， 7分
所以
8分
(Ⅲ) 由
可得
， 9分
令
，
10分
单调递减
极小值（最小值）
单调递增
12分
，
，
┈┈┈┈ 13分
实数
的取值范围为
┈┈┈┈ 14分
点评：解决的关键是对于导数的符号与函数单调性关系的运用，以及结合极值的概念得到最值，属于中档题
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，（其中实数,是自然对数的底数）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
