题文
已知函数
.
（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间和极值；
（Ⅱ）若
在区间
上是单调递减函数，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）单调递减区间是
；单调递增区间是
.极小值是
（Ⅱ）
的最小值为
的取值范围是
.
解析
（Ⅰ）函数
的定义域为（0，+∞）.
当
时，
2分
当
变化时，
的变化情况如下：
-
0
+
极小值
的单调递减区间是
；单调递增区间是
.
极小值是
6分
（Ⅱ）由
，得
8分
又函数
为
上的单调减函数.
则
在
上恒成立， 所以不等式
在
上恒成立，
即
在
上恒成立. 10分
设
，显然
在
上为减函数，
所以
的最小值为
的取值范围是
. 12分
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、最值情况，得到证明不等式。恒成立问题，往往要转化成函数最值求法。本题涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。
考点
据考高分专家说，试题“已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
