已知函数.写出该函数的单调区间；若函数恰有3个不同零点，求实数的取值范围；若对所有恒成立，求实数n的取值范围。

题文

已知函数

.
（1）写出该函数的单调区间；
（2）若函数

恰有3个不同零点，求实数

的取值范围；
（3）若

对所有

恒成立，求实数n的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）单调增区间

，

  单调递减区间是

 
（2）

  （3）n的取值范围是

解析

(1) 由函数

的图象 函数

的单调递减区间是

  
单调增区间是

，

      
（2）作出直线

，
函数

恰有3个不同零点等价于函数


与函数

的图象恰有三个不同公共点。结合图形
且函数

    又  f(0)="1" f(1)=


∴

                                      
(3) 解：若要使f (x)≤n²－2bn+1对所有x∈[－1,1]恒成立 
则需 [f(x)]_max≤n²－2bn+1   [f(x)]_max=f(0)=1                    
∴n²－2bn+1≥1即n²－2bn≥0在b∈[－1,1]恒成立
∴y= －2nb+n²在b∈[－1,1]恒大于等于0             
∴

，∴


∴n的取值范围是

  
点评：本题考查了函数图象的作法、函数的单调性及函数零点问题，本题的解决过程充分体现了数形结合
思想的作用．

考点

据考高分专家说，试题“已知函数.（1）写出该函数的单调区间；（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。