题文
已知
.
（1）
时，求
的极值;
（2）当
时，讨论
的单调性;
（3）证明：
（
，
，其中无理数
） 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）极大值
，极小值
.（2）当
时，
上单调递减，
单调递增，
单调递减；当
时，
单调递减；当
时，
上单调递减，
单调递增，
单调递减；（3）构造函数，利用函数的单调性处理
解析
1分
（1）令
，知
在区间
上单调递增，
上单调递减，在单调递增.故有极大值
，极小值
.………4分
（2）当
时，
上单调递减，
单调递增，
单调递减，当
时，
单调递减
当
时，
上单调递减，
单调递增，
单调递减 7分
（3）由（Ⅰ）当
时，
在
上单调递减.
当
时
∴
，即
∴
∴
. 10分
点评：近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想（分类与整合、数与形的结合）方法（分析法、综合法、反证法）的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合
考点
据考高分专家说，试题“已知.（1）时，求的极值;（2）当时，讨.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
