题文
已知
是函数
的一个极值点，其中
（1）求
与
的关系式；
（2）求
的单调区间；
（3）设函数函数g(x)=
；试比较g(x)与
的大小。 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
(2) 当
时，
在
单调递减，在
单调递增，在
上单调递减.同理可得：当
时，
在
单调递增，在
单调递减，在
上单调递增
(3)
时 ，g(x)
时， g(x)
解析
解(I)
因为
是函数
的一个极值点,所以
,即
，所以
3分
（II）由（I）知，
=
…5分
当
时，有
，当
变化时，
与
的变化如下表：
1
0
0
调调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
故有上表知，当
时，
在
单调递减，在
单调递增，在
上单调递减.同理可得：当
时，
在
单调递增，在
单调递减，在
上单调递增. 9分
（III）设函数h(x)=
-
=
=
由
，且
，故
，
令
所以m(x)在
为增函数，故
所以h(x)在
,h(x)
，故g(x)
当
，
令
所以m(x)在
为减函数，故
所以h(x)在
,h(x)
，故g(x)
综上
时 ，g(x)
14分
时， g(x)
点评：解决的关键是利用导数的符号与函数单调性的关系来确定单调性，以及极值问题，并利用单调性来比较大小，属于中档题。
考点
据考高分专家说，试题“已知是函数的一个极值点，其中（1）求与的.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
