题文
已知函数
.
（1）判断函数
的奇偶性；
（2）判断函数
在
上的单调性，并给出证明；
（3）当
时，函数
的值域是
，求实数
与
的值； 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）为奇函数。 （2）当
时，
在
上是减函数.当
时，
在
上是增函数. （3）
，
.
解析
（1）由
得函数
的定义域为
， 2分
又
所以
为奇函数。 4分
（2）由(1)及题设知：
，设
，
∴当
时，
∴
. 6分
当
时，
，即
.
∴当
时，
在
上是减函数.
同理当
时，
在
上是增函数. 8分
（3）①当
时，有
.
由(2)可知：
在
为增函数， 9分
由其值域为
知
,无解 10分
②当
时，有
.由(2)知：
在
为减函数,
由其值域为
知
11分
得
，
. 12分
点评：偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，而奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同
考点
据考高分专家说，试题“已知函数.（1）判断函数的奇偶性；（2）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
