题文
已知函数
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)求函数
单调增区间；
(3)若存在
，使得
是自然对数的底数），求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
(2) 单调增区间为
(3)
解析
⑴因为函数
，
所以
，
，
又因为
，所以函数
在点
处的切线方程为
．
⑵由⑴，
．
因为当
时，总有
在
上是增函数，
又
，所以不等式
的解集为
，
故函数
的单调增区间为
．
⑶因为存在
，使得
成立，
而当
时，
，
所以只要
即可．
又因为，
，
的变化情况如下表所示：
减函数
极小值
增函数
所以
在
上是减函数，在
上是增函数，所以当
时，
的最小值
，
的最大值
为
和
中的最大值．
因为
，
令，因为
，
所以
在
上是增函数．
而
，故当
时，
，即
；
当
时，
，即
．
所以，当
时，，即
，函数
在
上是增函数，解得
；当
时，
，即
，函数
在
上是减函数，解得
．
综上可知，所求
的取值范围为
．
点评：第一问主要利用导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率；第二问求单调增区间主要是通过导数大于零；第三问的不等式恒成立转化为求函数最值，这是函数题经常用到的转化方法，本题第三问有一定的难度
考点
据考高分专家说，试题“已知函数(1)求函数在点处的切线方程；(.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
