题文
已知函数
.
（I）求函数
的单调区间；
（II）若函数
上是减函数，求实数
的最小值；
（III）若
，使
成立，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）
（II）
（III）
解析
由已知函数
的定义域均为
,且
.
（Ⅰ）函数
,
当
时,
.所以函数
的单调增区间是
. 3分
（Ⅱ）因f(x)在
上为减函数，故
在
上恒成立．
所以当
时，
．
又
，
故当
，即
时，
，所以
，故
所以
的最小值为
.
（Ⅲ）“若
，使
成立”等价于
“当
时，有
”，
有（Ⅱ），当
时，有
，
，
问题等价于：“当
时，有
”
当
时，由（Ⅱ），
在
上为减函数.
则
，故
.
当
时，由于
在
上为增函数，
故
的值域为
，即
．
由
的单调性和值域知，
唯一
，使
，且满足：
当
时，
，
为减函数；
当
时，
，
为增函数；
所以，
=
，
．
所以，
，与
矛盾，不合题意．
综上，
.
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，同时考查不等式的证明，解题的关键是正确求导数，确定函数的单调性．
考点
据考高分专家说，试题“已知函数.（I）求函数的单调区间；（II.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
