已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)如果x∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域；(2)求函数M(x)＝的最大

题文

已知函数f(x)＝3－2log₂x，g(x)＝log₂x.
(1)如果x∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域；
(2)求函数M(x)＝

的最大值；
(3)如果不等式f(x²)f(

)>kg(x)对x∈[2,4]有解，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）[0,2]．（2）当x＝2时，M(x)取到最大值为1.
（3）k<－2.

解析

(1)h(x)＝(4－2log₂x)·log₂x＝－2(log₂x－1)²＋2，
∵x∈[1,4]，∴log₂x∈[0,2]，
∴h(x)的值域为[0,2]．
(2)：f(x)－g(x)＝3(1－log₂x)．
当x>2时，f(x)<g(x)；当0<x≤2时，f(x)≥g(x)．
∴M(x)＝

＝


当0<x≤2时，M(x)最大值为1；
当x>2时，M(x)<1；
综上：当x＝2时，M(x)取到最大值为1.
(3)由f(x²)f(

)>kg(x)得
(3－4log₂x)(3－log₂x)>k·log₂x，
令t＝log₂x，∵x∈[2,4]，∴t∈1,2]，∴存在t∈[1,2]使(3－4t)(3－t)>kt，
即k<

= 4t＋

－15成立
记h (x) = 4t＋

－15,则k< h (x)max即可，易得h (x)max=-2
综上：k<－2.
点评：解决的管家式利用对数式的运算，以及函数的性质，均值不等式来求解最值，属于中档题。

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)＝3－2log2x，g(.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。