题文
已知函数
，
.
(Ⅰ) 求函数
在点
处的切线方程；
(Ⅱ) 若函数
与
在区间
上均为增函数,求
的取值范围；
(Ⅲ) 若方程
有唯一解,试求实数
的值. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
解析
(Ⅰ)因为
,所以切线的斜率
2分
又
,故所求切线方程为
,即
4分
(Ⅱ)因为
,又
,所以当
时,
；当
时,
.
即
在
上递增,在
上递减 5分
又
,所以
在
上递增,在
上递减 6分
欲
与
在区间
上均为增函数,则
,解得
8分
(Ⅲ) 原方程等价于
,令
,则原方程即为
. 9分
因为当
时原方程有唯一解,所以函数
与
的图象在
轴右侧有唯一的交点 10分
又
,且
，
所以当
时,
，函数
单调递增；当
时,
，函数
单调递减.
故
在
处取得最小值． 12分
从而当
时原方程有唯一解的充要条件是
． 13分
点评：第一问利用导数的几何意义可求出切线斜率，进而得到直线方程，由导数大于零可求得增区间，导数小于零可得减区间，第三问将方程有一个根转化为两函数图像只有唯一交点，结合图像需求函数最值
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，.(Ⅰ) 求函数在点处的切线方.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
