题文
已知函数
的定义域是
，
是
的导函数，且
在
内恒成立．
求函数
的单调区间；
若
，求
的取值范围；
(3) 设
是
的零点，
，求证：
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1);(2)
;(3)详见解析.
解析
（1）利用求导的思路求解函数的单调区间，从分借助
；（2）首先对
求导，然后借助已知的不等式恒成立进行转化为
在
内恒成立，进而采用构造函数的技巧，
，通过求导研究其最大值，从而得到
的取值范围；（3）借助第一问结论，得到
，然后通过变形和构造的思路去证明不等式成立.
试题解析：（1）
，∵
在
内恒成立
∴
在
内恒成立，
∴
的单调区间为
4分
（2）
，∵
在
内恒成立
∴
在
内恒成立，即
在
内恒成立，
设
，
，
，
，
，
故函数
在
内单调递增，在
内单调递减，
∴
，∴
8分
（3）∵
是
的零点，∴
由（1），
在
内单调递增，
∴当
时，
，即
，
∴
时
，∵
，∴
，
且
即
∴
，
∴
14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数的定义域是，是的导函数，且在内恒.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
