已知函数.(1) 试判断函数在上单调性并证明你的结论；(2) 若恒成立, 求整数的最大值；(3) 求证：.

题文

已知函数

.
(1) 试判断函数

在



上单调性并证明你的结论；
(2) 若

恒成立, 求整数

的最大值；
(3) 求证：

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

上是减函数
（2）正整数k的最大值是3
（3）由(Ⅱ)知

∴

利用放缩法得到。

解析

解：(1)




 

上是减函数 4分
(2)

即h(x)的最小值大于k.


 则

上单调递增,
又

 

存在唯一实根a, 且满足



当

 
∴

 故正整数k的最大值是3  ----9分
(3)由(Ⅱ)知

∴

 
令

, 则


∴ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]



∴(1＋1×2)(1＋2×3)…[1＋n(n＋1)]＞e^2n－3          14分
点评：主要是考查了导数在研究函数单调性的运用，属于中档题。

考点

据考高分专家说，试题“已知函数.(1) 试判断函数在上单调性并.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。