题文
已知函数
．
（Ⅰ）当
时，求曲线
在原点处的切线方程；
（Ⅱ）当
时，讨论函数
在区间
上的单调性；
（Ⅲ）证明不等式
对任意
成立． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
．
（Ⅱ）函数
在区间
单调递减，在区间
上单调递增．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，
在区间
上单调递增；
从而可得
，
得到
对任意
成立．
通过取
，
，得
，
．
将上述n个不等式求和,得到:
，
证得
对任意
成立．
解析
（Ⅰ）首先求
，切线的斜率
，求得切线方程.
（Ⅱ）当
时，根据
，只要考查
的分子
的符号．
通过讨论
，得
时
在区间
上单调递增；
当
时，令
求得其根
． 利用“表解法”得出结论：函数
在区间
单调递减，在区间
上单调递增．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，
在区间
上单调递增；
从而可得
，
得到
对任意
成立．
通过取
，
，得
，
．
将上述n个不等式求和,得到:
，
证得
对任意
成立．
试题解析：
．
（Ⅰ）当
时，
，切线的斜率
，
所以切线方程为
，即
． 3分
（Ⅱ）当
时，因为
，所以只要考查
的符号．
由
，得
，
当
时，
，从而
，
在区间
上单调递增；
当
时，由
解得
． 6分
当
变化时，
与
的变化情况如下表：
函数
在区间
单调递减，在区间
上单调递增． 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，
在区间
上单调递增；
所以
，
即
对任意
成立． 11分
取
，
，
得
，即
，
． 13分
将上述n个不等式求和,得到:
，
即不等式
对任意
成立． 14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
