题文
已知函数
（1）当
时，讨论函数
的单调性：
（2）若函数
的图像上存在不同两点
，设线段
的中点为
，使得
在点
处的切线
与直线
平行或重合，则说函数
是“中值平衡函数”，切线
叫做函数
的“中值平衡切线”。试判断函数
是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数
的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）函数的递增区间是
,递减区间是
；（2）当
时，函数
是“中值平衡函数”且函数
的“中值平衡切线”有无数条，当
时，函数
不是“中值平衡函数”.
解析
(1)对
进行讨论，求导数，令导数大于0或小于0，求单调递增或递减区间；（2）先假设它是“中值平衡函数”，设出
两点，讨论
和
的情况，看是否符合题意.
试题解析：（1）
1分
当
即
时，
，函数
在定义域
上是增函数； 2分
当
即
时,由
得到
或
， 4分
所以：当
时，函数
的递增区间是
和
，递减区间是
； 5分
当
即
时，由
得到：
，
所以:当
时,函数
的递增区间是
,递减区间是
； 7分
（2）若函数
是“中值平衡函数”，则存在
（
）使得
即
，
即
，（*） 4分
当
时，（*）对任意的
都成立，所以函数
是“中值平衡函数”，且函数
的“中值平衡切线”有无数条； 8分
当
时，设
，则方程
在区间
上有解， 10分
记函数
，则
， 12分
所以当
时，
，即方程
在区间
上无解，
即函数
不是“中值平衡函数”. 14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数（1）当时，讨论函数的单调性：（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
