题文
定义域为
的函数
，其导函数为
．若对
，均有
，则称函数
为
上的梦想函数．
（Ⅰ）已知函数
，试判断
是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；
（Ⅱ）已知函数
（
，
）为其定义域上的梦想函数，求
的取值范围；
（Ⅲ）已知函数
（
，
）为其定义域上的梦想函数，求
的最大整数值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）的取值范围是
；（Ⅲ）
的最大整数值为
．
解析
（Ⅰ）根据题中“梦想函数”的定义判断函数
是否为“梦想函数”；（Ⅱ）根据“梦想函数”的定义结合参数分离法将问题转化
型的恒成立问题，等价转化为
去处理，但需定义域的开闭对参数
的取值范围的影响；（Ⅲ）根据“梦想函数”的定义结合参数分离法转化为恒成立问题处理，在转化的过程中，若两边同时除以
，注意对
的取值符号分正负以及
进行讨论，从而得出参数
的取值范围，进而确定
的最大整数值.
试题解析：（Ⅰ）函数
不是其定义域上的梦想函数． 1分
理由如下：
定义域
，
， 2分
存在
，使
，故函数
不是其定义域
上的梦想函数． 4分
（Ⅱ）
，
，若函数
在
上为梦想函数，
则
在
上恒成立， 5分
即
在
上恒成立，
因为
在
内的值域为
， 7分
所以
． 8分
（Ⅲ）
，由题意
在
恒成立，
故
，即
在
上恒成立．
①当
时，
显然成立； 9分
②当
时，由
可得
对任意
恒成立.
令
，则
， 10分
令
，
则
．
当
时，因为
，所以
在
单调递减；
当
时，因为
，所以
在
单调递增．
∵
，
，
∴当
时，
的值均为负数.
∵
，
，
∴当
时，
有且只有一个零点
，且
. 11分
∴当
时，
，所以
，可得
在
单调递减；
当
时，
，所以
，可得
在
单调递增．
则
． 12分
因为
，所以
，
． 13分
∵
在
单调递增，
，
，
∴
，
所以
，即
．
又因为
，所以
的最大整数值为
． 14分
考点
据考高分专家说，试题“定义域为的函数，其导函数为．若对，均有，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
