题文
已知函数
,
，其中
R.
（1）讨论
的单调性；
（2）若
在其定义域内为增函数，求正实数
的取值范围；
（3）设函数
,当
时，若
，
，总有
成立，求实数
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）在
上单调递减，在
上单调递增;（2）
;（3）
.
解析
（1）先对
求导，由于
的正负与参数
有关，故要对
分类讨论来研究单调性; （2）先由
在其定义域内为增函数转化为在不等式
中求参数范围的问题，利用分离参数法和基本不等式的知识求出参数
的取值范围;（3）先通过导数研究
在
的最值，然后根据命题“若
，
，总有
成立”分析得到
在
上的最大值不小于
在
上的最大值，从而列出不等式组求出参数
的取值范围.
试题解析：解：（1）
的定义域为
，且
， 1分
①当
时，
，
在
上单调递增； 2分
②当
时，由
，得
；由
，得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增. 4分
（2）
，
的定义域为
5分
因为
在其定义域内为增函数，所以
，
而
，当且仅当
时取等号，所以
8分
（3）当
时，
，
由
得
或
当
时，
；当
时，
.
所以在
上，
10分
而“
，
，总有
成立”等价于
“
在
上的最大值不小于
在
上的最大值”
而
在
上的最大值为
所以有
12分
所以实数
的取值范围是
14分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数,，其中R.（1）讨论的单调性；.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
