题文
对于定义域为
的函数
，如果存在区间
，同时满足：
①
在
内是单调函数；②当定义域是
，
值域也是
，则称
是函数
的“好区间”.
（1）设
（其中
且
），判断
是否存在“好区间”，并
说明理由；
（2）已知函数
有“好区间”
，当
变化时，求
的最大值. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）不存在“好区间”；（2）
的最大值为
.
解析
（1）先求出
的定义域.可知要对
分情况讨论，当
时，定义域
，
在
内是增函数；当
时，定义域
，
在
内还是增函数.从而得出
，即方程
在定义域
内有两个不等的实数根，即
在定义域
内有两个不等的实数根.再用换元法，设
，则相当于
两个不等的实数根，即
在
内有两个不等的实数根,通过研究二次函数
，发现
在
内有两个不等的实数根无解，所以函数
不存在“好区间”；（2）函数
有“好区间”
，由于
定义域为
，
或
，易知函数
在
上单调递增，
，所以
是方程
，即方程
有同号的相异实数根，然后再用判别式求出
的范围，再用韦达定理用
表示出
，结合
的范围即可求出
的最大值.
试题解析：（1）由
. 2分
①当
时，
，此时定义域
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
内是增函数； 4分
②当
时，
，此时定义域
，
同理可证
在
内是增函数； 6分
存在“好区间”
，
关于
的方程
在定义域
内有两个不等的实数根.
即
在定义域
内有两个不等的实数根.(*)
设
，则(*)
，
即
在
内有两个不等的实数根，
设
，则
无解.
所以函数
不存在“好区间”. 8分
（2）由题设，函数
有“好区间”
，
或
，函数
在
上单调递增，
，所以
是方程
，即方程
有同号的相异实数根. 12分
，
同号，
或
.
,
.
当
，
取得最大值
. 16分
考点
据考高分专家说，试题“对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
