题文
已知函数
：
(1)若函数在区间
上存在零点，求实数
的取值范围；
(2)问：是否存在常数
，当
时，
的值域为区间
，且
的长度为
. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
;(2)存在，见解析.
解析
(1) 先由函数对称轴为
得函数在
上单调减，要使函数在
存在零点，则需满足
，解得
； (2)当
时，
的值域为
，由
，得
合题意；当
时，
的值域为
，由
，得不合题意；当
时，
的值域为
，用上面的方法得
或
合题意.
试题解析：⑴ ∵二次函数
的对称轴是
∴函数
在区间
上单调递减
∴要函数
在区间
上存在零点须满足
即
解得
，所以
.
⑵ 当
时，即
时，
的值域为：
，即
∴
∴
∴
经检验
不合题意，舍去。
当
时，即
时，
的值域为：
，即
∴
, ∴
经检验
不合题意，舍去。
当
时，
的值域为：
，即
∴
∴
∴
或
经检验
或
或
满足题意。
所以存在常数
，当
时，
的值域为区间
，且
的长度为
.
考点
据考高分专家说，试题“已知函数：(1)若函数在区间上存在零点，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
