题文
已知函数
．
（1）若存在
，使不等式
成立，求实数
的取值范围；
（2）设
，证明：
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）详见解析.
解析
（1）这是一个含参不等式恒成立，求参数取值范围的问题，通常方法是根据函数性质进行求解，或分离参数转化为求函数最值问题，若方便分离参数又较容易求分离后函数的最值，还是分离参数较好，这样可避免对参数的讨论；（2）这是一个以函数的凹凸那条性为背景的一个不等式的证明问题双变元问题，可以将其中一个看成主元，另一个看成参数，构造函数
，通过求导判断函数的单调性和最值达到证明的目的.
试题解析：（1）（1）由
变形为
．
令
，则
故当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
的最大值只能在
或
处取得
又
，
，所以
所以
，从而
．
（2）∵
，∴
设
，则
当
时，
，
在
上为减函数；
当
时，
，
在
上为增函数．
从而当
时，
，
因为
，所以
．
考点
据考高分专家说，试题“已知函数．（1）若存在，使不等式成立，求.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
