已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在[﹣9，﹣6]上为减函数；④方程在[﹣9，9]上

题文

已知函数

是R上的偶函数，对于

都有

成立，且

，当

，且

时，都有

．则给出下列命题：
①

；                           ②函数

图象的一条对称轴为

；
③函数

在[﹣9，﹣6]上为减函数；      ④方程

在[﹣9，9]上有4个根；
其中正确的命题个数为（   ）A．1B．2 C．3D．4 题型：未知 难度：其他题型

答案

D

解析

令

，由

得

，又函数

是R上的偶函数，所以

.

.即函数

是以6为周期的周期函数.所以

.又

，所以

，从而

；又函数关于

轴对称.周期为6，所以函数

图象的一条对称轴为

；又当

，且

时，都有

，设

，则

.故易知函数

在

上是增函数.根据对称性，易知函数

在

上是减函数，又根据周期性，函数

在[﹣9，﹣6]上为减函数；因为

，又由其单调性及周期性，可知在[﹣9，9]，有且仅有

，即方程

在[﹣9，9]上有4个根.综上所述，四个命题都正确.

考点

据考高分专家说，试题“已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。