题文
已知函数
（
）．
（1）求
的单调区间；
（2）如果
是曲线
上的任意一点，若以
为切点的切线的斜率
恒成立，求实数
的最小值；
（3）讨论关于
的方程
的实根情况． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）单调递增区间为
，单调递减区间为
；（2）
的最小值为
；（3）
时，方程
有两个实根，当
时，方程
有一个实根，当
时，方程
无实根．
解析
本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，考查函数思想，分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，先求导数，令导数等于0，得到方程的根，则
为增函数，
为减函数，本问要注意函数的定义域；第二问，先利用导数求出切线的斜率，得到恒成立的表达式，将其转化为
对
恒成立，所以关键就是求
，配方法求最大值即可；第三问，先将原方程化为
，设
，看函数图像与x轴的交点，对
求导，判断函数的单调性，求出函数的最大值，讨论最大值
的三种情况来决定方程根的情况.
试题解析：(Ⅰ)
，定义域为
，
则
．
因为
，由
得
， 由
得
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
． .3分
(Ⅱ)由题意，以
为切点的切线的斜率
满足
，
所以
对
恒成立．
又当
时，
，
所以
的最小值为
． .6分
(Ⅲ)由题意，方程
化简得
令
，则
．
当
时，
，
当
时，
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
所以
在
处取得极大值即最大值，最大值为
．
所以当
，即
时，
的图象与
轴恰有两个交点，
方程
有两个实根，
当
时，
的图象与
轴恰有一个交点，
方程
有一个实根，
当
时，
的图象与
轴无交点，
方程
无实根． 12分
考点
据考高分专家说，试题“已知函数（）．（1）求的单调区间；（2）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
