题文
已知定义在
上的偶函数满足：
，且当
时，
单调递减，给出以下四个命题：①
；②
是函数
图像的一条对称轴；③函数
在区间
上单调递增；④若方程
．在区间
上有两根为
，则
。以上命题正确的是 。（填序号） 题型：未知 难度：其他题型
答案
①②③④．解析
∵
是定义在
上的偶函数，∴
，可得
，在
，中令
得
，∴函数
是周期为4的周期函数，又当
时，
单调递减，结合函数的奇偶性画出函数
的简图，如图所示．从图中可以得出：②
为函数
图象的一条对称轴；③函数
在
单调递增；④若方程
在
上的两根为
，则
．故①②③④均正确．
1．函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性；2．函数的零点与方程的根．
考点
据考高分专家说，试题“已知定义在上的偶函数满足：，且当时，单调.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
