题文
设函数
，
是定义域为
的奇函数．
（Ⅰ）求
的值，判断并证明当
时，函数
在
上的单调性；
（Ⅱ）已知
，函数
，求
的值域；
（Ⅲ）已知
，若
对于
时恒成立.请求出最大的整数
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
，
在R上为增函数；（Ⅱ）
；（Ⅲ）
的最大整数为10.
解析
（Ⅰ）由奇函数的性质
得
，由单调性的定义证明
在R上是增函数；
（Ⅱ）由
可得
，
，由换元法令
，将函数转化为二次函数
求最值；（Ⅲ）
时，原式可化为
，令
，由分离参数的方法得到
，进而得到
的取值范围.本题中用到换元法，换元之后应特别注意变元
的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）
是定义域为R上的奇函数，
，得
．
，
，即
是R上的奇函数 2分
设
，则
，
，
，
，
在R上为增函数 5分
（Ⅱ）
，即
，
或
（舍去）
则
，令
，
由（1）可知该函数在区间
上为增函数，则
则
8分
当
时，
；当
时，
所以
的值域为
10分
（Ⅲ）由题意，即
，在
时恒成立
令
，则
则
恒成立
即为
恒成立 13分
，
恒成立，当
时，
，则
的最大整数为10 16分
考点
据考高分专家说，试题“设函数，是定义域为的奇函数．（Ⅰ）求的值.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
