题文
若非零函数
对任意实数
均有
，且当
时
（1）求证：
；
（2）求证：
为R上的减函数；
（3）当
时， 对
恒有
，求实数
的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）证法一：
即
又
当
时，
则
故对于
恒有
证法二：
为非零函数
（2）证明：令
且
有
， 又
即
故
又
故
为R上的减函数
（3）实数
的取值范围为
解析
（1）由题意可取
代入等式
，得出关于
的方程，因为
为非零函数，故
，再令
代入等式，可证
，从而证明当
时，有
；（2）着眼于减函数的定义，利用条件当
时，有
，根据等式
，令
，
，可得
，从而可证该函数为减函数.（3）根据
，由条件
可求得
，将
替换不等式中的
，再根据函数的单调性可得
，结合
的范围，从而得解.
试题解析：（1）证法一：
即
又
当
时，
则
故对于
恒有
4分
证法二：
为非零函数
（2）令
且
有
， 又
即
故
又
故
为R上的减函数 8分
（3）
故
， 10分
则原不等式可变形为
依题意有
对
恒成立
或
或
故实数
的取值范围为
14分
考点
据考高分专家说，试题“若非零函数对任意实数均有，且当时（1）求.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
