题文
设函数
对任意
，都有
，当
时，
（1）求证：
是奇函数;
（2）试问：在
时
，
是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由.
（3）解关于x的不等式
题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）详见解析；（2）函数最大值为
；（3）①
，则解为
；②
，则解为
；③
，则无解.
解析
（1）要证明
为奇函数，需要证明
.如何利用所给条件变出这样一个等式来？
为了产生
，令
，则
.这时的
等于0吗？如何求
？再设
可得
，从而问题得证.
（2）一个连续函数在闭区间上必最大值的最小值.为了求函数的最值，就需要研究函数的单调性.研究单调性，第一，根据定义，第二利用导数.抽象函数研究单调性只能用定义.任取
，则
，根据条件可得：
即
所以
为减函数，那么函数在
上的最大值为
.
（3）有关抽象函数的不等式，都是利用单调性去掉
.首先要将不等式化为
，注意必须是左右各一项.在本题中，由题设可得
，
在R上为减函数
，即
.下面就解这个不等式.这个不等式中含有参数
，故需要分情况讨论.
试题解析：（1）设
可得
，设
，则
所以
为奇函数.
（2）任取
，则
，又
所以
所以
为减函数。
那么函数最大值为
，
，
所以函数最大值为
.
（3）由题设可知
即
可化为
即
，
在R上为减函数
，即
，
①
，则解为
②
，则解为
③
，则无解
考点
据考高分专家说，试题“设函数对任意，都有，当时，（1）求证：是.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
